Der Violoncellist Ján Slávik studierte am Konservatorium in Bratislava bei Gustáv Večerný und Karol Filipovič, an der Hochschule für musische Künste (VŠMU) bei Jozef Podhoranský. Kammermusik studierte er an der Hochschule für Musik und dartstellende Kunst in Wien bei F. Samohyl und G. Pichler. Im Jahr 1992 beendete er sein Doktorstudium an der VŠMU, wo er seit 1993 pädagogisch tätig ist, ab 2012 als Professor.
Er besuchte eine Reihe von Interpratation zeitgenössischer Musik (Prager Frühling 1983), Preis der Musikkritik (Junges Podium Karlove Vary 1991), Preis der Slowakischen musikologischen Assoziation (1991). Slávik ist Gründungstmitglied des Moyzes – Quartetts (1975), das bis heute eine rege, internationale Konzerttätigkeit ausübt (ganz Europa, Japan, USA, Kanada) und mehr als 40 CD - Aufnahmen präsentieren kann. Er ist Mitbegründer der Bürgervereinigung Albrechtina (2010). Als Solist spielte Slávik mit etlichen Orchestern in mehreren europäischen Staaten. Seit 2008 ist er erster Solocellist (Konzertmeister) bei der Slowakischen Philharmonie. Zusammen mit der Pianistin Daniela Varínska spielte Slávik konzertant und als CD-Aufnahmen Beethovens komplettes Werk für Violoncello und Klavier, weiters die Sonaten Johannes Brahms´, die Suiten und Sonaten von J.S.Bach (Herausgeber Verlag Diskant). Er realisierte als Premiere viele verschiedene Werke unh mehrere slowakische Komponisten widmeten ihm Neuaufführungen (Iršai, Kupkovič, Zeljenka...). Für Diskant machte er Aufnahmen von Cellowerken der Autoren Ilja Zeljenka, Ladislav Kupkovič und anderer slowakischen Komponisten. Regelmässig tritt er im Rundfunk und Fernsehen auf, andere CD-Einspielungen erschienen bei CD Marco Polo, Naxos, TUTL und Classico. Slávik leitet regelmässig Meisterkurse, ist Gründer der Internationalen Kunstfestspiele ,,Hudba Modre", des Slowakischen Festivals für Kunst ,,Hudba Trnave" und des Internationalen Festivals ,,Divergencie" in Skalica.